Codeforces 1462F The Treasure of The Segments

题意

给$n(1\leq n\leq 2*10^5)$个线段$[l_i,r_i] (1≤l_i≤r_i≤10^9) $，问最少删除几个线段，使得剩下线段中，有至少一个线段与所有线段相交。

分析

对于线段相交且在线段端点数据范围很大的情况下，第一想法是离散化。

如果枚举一个线段和其他所有线段判交，时间复杂度是$O(n^2)$，显然是无法接受的，考虑如何优化。

对于一个左端点为$l_i$，右端点为$r_i$的线段，我们可以考虑，若有另一个具有相同左端点，右端点为$r$，且$r>r_i$的线段，取另一个线段作为交线段更优。

那么我们可以考虑枚举左端点，以上述最大的$r$为右端点判交，但若是还与其他所有线段判交，时间复杂度仍然是$O(n^2)$。

再次考虑优化，由于我们做法是枚举左端点$i$，那么随着左端点增大，相交的线段也会变化，我们考虑这个变化量，将线段排序，这样可以保证在右端点增大时，新增线段在数组中是连续的，这样即可考虑双指针。

在之前的所取集合中，大部分线段是仍然可以与当前线段相交的，而无法相交的是右端点为$i-1$的线段，所以当一条线段加入集合中，在其$r_i$上做一个标记，遍历到时减去数字即可。

#pragma GCC optimize(3, "Ofast", "inline")

#include <bits/stdc++.h>

#define start ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define int ll
#define ls st<<1
#define rs st<<1|1
#define pii pair<int,int>
#define rep(z, x, y) for(int z=x;z<=y;++z)
#define repd(z, x, y) for(int z=x;z>=y;--z)
#define com bool operator<(const node &b)const
using namespace std;
mt19937 rnd(chrono::high_resolution_clock::now().time_since_epoch().count());
const int maxn = (ll) 1e6 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int T = 1;
int sum[maxn];
pii a[maxn];
int r[maxn];

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> v;
    rep(i, 1, n) {
        cin >> a[i].first >> a[i].second;
        v.push_back(a[i].first);
        v.push_back(a[i].second);
    }
    sort(v.begin(), v.end());
    v.erase(unique(v.begin(), v.end()), v.end());
    rep(i, 0, v.size())r[i] = sum[i] = 0;
    rep(i, 1, n) {
        a[i].first = lower_bound(v.begin(), v.end(), a[i].first) - v.begin() + 1;
        a[i].second = lower_bound(v.begin(), v.end(), a[i].second) - v.begin() + 1;
        r[a[i].first] = max(r[a[i].first], a[i].second);
    }
    sort(a + 1, a + n + 1);
    int now = 0;
    int ans = 1;
    int pos = 1;
    rep(i, 0, v.size()) {
        now -= sum[i - 1];
        while (pos <= n) {
            if (a[pos].first <= r[i]) {
                ++sum[a[pos].second];
                ++pos;
                ++now;
            } else
                break;
        }
        ans = max(ans, now);
    }
    cout << n - ans << '\n';
}

signed main() {
    start;
    cin >> T;
    while (T--)
        solve();
    return 0;
}